无理数的概念详解（一）：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
无理数的性质
1.无理数加（减）无理数既能够是无理数又能够是有理数。
2.无理数乘（除）无理数既能够是无理数又能够是有理数。
3.无理数加（减）有理数必须是无理数。
4.无理数乘（除）一个非0有理数必须是无理数。
有理数和无理数的区别
实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：
（1）所有的有理数都能够写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．所以，无理数也叫做非比数。
（2）有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)。把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；45=0.8等等；也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)，而无理数只能写成无限不循环小数.
无理数的概念详解（二）：
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
有理数和无理数的区别
（1）性质区别：
有理数是两个整数的比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数；无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
（2）结构区别：
有理数是整数和分数的统称；无理数是所有不是有理数的实数。
（3）范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行；无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
无理数集及其他数集的符号
无理数集相当于实数集中有理数集的补集，实数集R，有理数集Q，所以无理数集合符号为CrQ。
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z+或N+。
所有负整数组成的集合称为负整数集，记作Z-。
全体虚数组成的集合称为虚数集，记作I。
全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集，记作C。
无理数的概念详解（三）：
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。可是他始终无法证明不是无理数，之后希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数.如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都能够化成有限小数，或无限循环小数。如227等。
实数(realnumber)分为有理数和无理数(irrationalnumber)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)
也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，45=0.8，13=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，
比如√2=1.414213562…………根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，能够证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然能够写成两个整数之比的形式：
√2=pq
再假设p和q没有公因数能够约，所以能够认为pq为最简分数，即最简分数形式。
把√2=pq两边平方
得2=(p^2)(q^2)
即2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p必定为偶数，设p=2m
由2(q^2)=4(m^2)
得q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设pq是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。所以√2是无理数。
1.确定a√b是否无理数(a，b是整数)
若a√b是有理数，它必然能够写成两个整数之比的形式：
a√b=cd(cd是最简分数)
两边a次方得b=c^ad^a即c^a=b*(d^a)c^a必须是b的整数倍，设c^a=b^n*p同理b*(d^a)必然也为b的整数倍，设b*(d^a)=b*(b^m*q).其中p和q都不是b的整数倍
左边b的因子数是a的倍数，要想等式成立，右边b的因子数必是a的倍数，推出当且仅当b是完全a次方数，a√b才是有理数，否则为无理数。
无理数的性质
1.无理数加（减）无理数既能够是无理数又能够是有理数。
2.无理数乘（除）无理数既能够是无理数又能够是有理数。
3.无理数加（减）有理数必须是无理数。
4.无理数乘（除）一个非0有理数必须是无理数。
无理数发现的故事
对毕达歌拉斯而言，当时的数学知识只能认识到整数，虽然分数总能够用正数表达。数学之美在于有理数能解释一切天然现象。这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至导致他一个学生被处死。
无理数的发现
毕达哥拉斯的学生希伯斯，他试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，可是他的教师毕氏却不悦。
希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不贴合他教师的宇宙理论的。希伯斯发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应当等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。
因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希帕索斯经洞察力获致的成果必须经过了一段时间的论和深思熟虑，毕氏本应理解这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自我的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大杯具，仅有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。之后，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。
沉重的打击
能够想象，毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。小小的竟然动摇了他们惨淡经营的宇宙理论。怎样办毕达哥拉斯的可悲，在于他不敢视这个新的数学问题，而是企图借助宗教信条来维护他的权威。他搬出学派的誓言，扬言要严惩敢于“泄密”的人。然而，真理从来就不是权劫的奴仆，真理的声音是谁也封锁不了的。渐渐地，有一种新的数存在的消息传扬了开去。
这一发现实际上是推翻了教派原先的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希帕索斯泄露存在根2(即无理数)的秘密，可是天真的希帕索斯在无意中向别人谈到了他的发现。之后毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希帕索斯装进大口袋扔进了大海。希帕索斯因为发现了根号2“无理数”的存在，为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。
同时该教派犯下了将发现无理数存在的教派成员、毕达哥拉斯的学生希帕索斯迫害致死的罪行。这是数学史上一个最著名的杯具。他那传奇般的一生给后代留下了许多的故事与传说。
然而像根号2这样的“无理数”存在的.事实，却不可能一扔了之，由此引发了数学史上第一次危机，也带来了数学思想一次大的飞跃。认识无理数的存在告诉我们，矛盾的存在说明人的认识还具有某种局限性，需要有新的思想和理论来解释。我们仅有突破固有思维模式的束缚，才能开辟新的领域和方向，科学才能够继续发展。
科学无止境，认识无禁区，那些事先为科学设定条条框框的，最终将变成阻碍科学提高的阻力，必然被时代的所抛弃。
提高的代价
希伯斯由于违背了学派的誓言，遭受到残酷的迫害。不久，他就失踪了。毕达哥拉斯派的人说，那是海神普赛登惩罚了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大风暴冲散了希伯斯的船队，然后就卷起海浪吞没了他........可是，谁会相信这些骗人的鬼话呢
这类无理数的发现，是数学史上一个重要的发现。希伯斯为此献出了生命，但我们欣忍地看到，数学却所以又前进了一步。
有理数和无理数的区别
实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：
（1）有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)。把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；45=0.8等等；也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)，而无理数只能写成无限不循环小数.
（2）所有的有理数都能够写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．所以，无理数也叫做非比数。